Kosinus vsote in razlike

Kosinusni izrek je obrazec, s katerim izračunamo stranico poljubnega trikotnika, če poznamo dve stranici in kot med njima. Obrazec za stranico $a$ se glasi: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$$

Zapišimo koordinati točk $A$ in $B$ na sliki: $A(\cos \alpha, \sin \alpha)$, $B(\cos \beta, \sin \beta)$.

Razdaljo med njima izračunajmo na dva načina; enkrat s kosinusnim izrekom, drugič pa z uporabo obrazca za razdaljo med dvema točkama.

$|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA|\cdot |OB|\cdot \cos (\alpha -\beta)=$

$=2-2 \cos (\alpha -\beta)$

$|AB|^2= (\cos \alpha -\cos \beta)^2+(\sin \alpha -\sin \beta)^2=$

$=2-2\cos \alpha \cdot \cos \beta -2\sin \alpha \cdot \sin \beta$

S primerjavo obeh izrazov dobimo drugi adicijski izrek.

Pri dokazu prvega adicijskega izreka bomo uporabili že dokazani obrazec in lastnost sodost funkcije kosinus ter lastnost lihost funkcije sinus.

$\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha-(-\beta))=$

$= \cos \alpha \cdot \cos (-\beta)+\sin \alpha \cdot \sin (-\beta)=$

$= \cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Najprej izračunamo kosinus kota $\gamma$ po osnovni zvezi med sinusom in kosinusom istega kota.

$\cos \gamma=-\frac{3}{5}$

Nato uporabimo adicijski izrek in izračunamo vrednost izraza.

$\cos (\gamma +30°)=\cos \gamma \cdot \cos 30°-\sin \gamma \cdot \sin 30°=$

$\displaystyle =(-\frac{3}{5})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$

Kot zapiši kot vsoto dveh kotov, katerih vrednosti kotnih funkcij že poznamo.

$\cos (30°+45°)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$