Polarni koordinatni sistem

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Izračunaj polarni koordinati točk $A(3,3)$, $B(-4, 4)$, $C(-2, -2\sqrt 3)$ in $D(3\sqrt 3,-3)$.

$\tan \varphi=\frac{3}{3}=1$
Točka $A$ je v prvem kvadrantu, zato je $\varphi=45^\circ$.
Kot $\varphi$ smo zapisali v stopinjah. Lahko bi ga zapisali tudi v radianih.
$r=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Točka $A$, zapisana s polarnima koordinatama: $A(3\sqrt 2,45^\circ)$

$\tan \varphi=\frac{4}{-4}=-1$
Točka $B$ je v drugem kvadrantu, zato je $\varphi=135^\circ$.
$r=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
Točka $B$, zapisana s polarnima koordinatama: $B(4\sqrt 2, 135^\circ)$

$\tan \varphi=\frac{-2\sqrt 3}{-2}=\sqrt 3$
Točka $C$ je v tretjem kvadrantu, zato je $\varphi=240^\circ$.
$r=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt 3)^2}=4$
Točka $C$, zapisana s polarnima koordinatama: $C(4, 240^\circ)$

$\tan \varphi=\frac{-3}{3\sqrt 3}=-\frac{\sqrt 3}{3}$
Točka $D$ je v četrtem kvadrantu, zato je $\varphi=330^\circ$.
$r=\sqrt{(3\sqrt 3)^2+(-3)^2}=6$
Točka $D$, zapisana s polarnima koordinatama: $D(6, 330^\circ)$

Če je točka $T(x, y)$ podana v pravokotnem koordinatnem sistemu, sta njeni polarni koordinati $r$ in $\varphi$, kjer je $r=\sqrt{x^2+y^2}$ in $\tan\varphi= \frac{y}{x}$. Velikost kota $\varphi$, $0\leq \varphi<360^\circ$, določimo glede na kvadrant, v katerem se nahaja točka $T$.

Zgled

Izračunaj polarni koordinati točk $E(3, \frac{\pi}{6})$, $F(5, \frac{3\pi}{4})$, $G(4, \frac{4\pi}{3})$ in $H(2, \frac{11\pi}{6})$.

$\cos \varphi=\frac{x}{r}$
$x=r\cos \varphi=3\cos \frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt 3}{2}$
$\sin \varphi=\frac{y}{r}$
$y=r\sin \varphi=3\sin \frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}$
Točka $E$ v pravokotnih koordinatah: $E(\frac{3\sqrt 3}{2}, \frac{3}{2}) $

$\cos \varphi=\frac{x}{r}$
$x=r\cos \varphi=5\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{5\sqrt 2}{2}$
$\sin \varphi=\frac{y}{r}$
$y=r\sin \varphi=5\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{5\sqrt 2}{2}$
Točka $F$ v pravokotnih koordinatah: $F(-\frac{5\sqrt 2}{2}, \frac{5\sqrt 2}{2}) $

$x=r\cos \varphi=4\cos \frac{4\pi}{3}=-2$
$y=r\sin \varphi=4\sin \frac{4\pi}{3}=-2\sqrt 3$
Točka $G$ v pravokotnih koordinatah: $G(-2, -2\sqrt 3) $

$x=r\cos \varphi=2\cos \frac{11\pi}{6}=\sqrt 3$
$y=r\sin \varphi=2\sin \frac{11\pi}{6}=-1$
Točka $H$ v pravokotnih koordinatah: $G(\sqrt 3, -1) $

Če je točka $T(r, \varphi)$ podana v polarnem koordinatnem sistemu, sta njeni pravokotni koordinati $x=r\cos \varphi$ in $y=r\sin\varphi$, torej $T(r\cos \varphi, r\sin\varphi)$.

Polarni koordinatni sistem

Kaj si ugotovil?

Zgled

Izračunaj polarni koordinati točk $A(3,3)$, $B(-4, 4)$, $C(-2, -2\sqrt 3)$ in $D(3\sqrt 3,-3)$.

Zgled

Izračunaj polarni koordinati točk $E(3, \frac{\pi}{6})$, $F(5, \frac{3\pi}{4})$, $G(4, \frac{4\pi}{3})$ in $H(2, \frac{11\pi}{6})$.