Sestavljene transformacije

Osnovna perioda funkcij je $\frac{\pi}{\omega}$, funkciji se premakneta v smeri abscisne osi za $\frac{\varphi}{\omega}$.

$f(x)=2\tan(\frac{1}{2}x)+3$

Funkcijo najprej preoblikujemo v $f(x)=2\tan(2(x-\frac{\pi}{8}))+1$. Funkcijo narišemo s premiki in raztegi v naslednjem vrstnem redu:
1. $f_1(x)=\tan x$
2. $f_2(x)=\tan (2x) $
3. $f_3(x)=2\tan (2x)$
4. $f_4(x)=2\tan(2(x-\frac{\pi}{8}))$
5. $f(x)=2\tan(2(x-\frac{\pi}{8}))+1$

Funkcijo zapišemo kot $f(x)=2 g(x)+1$, kjer je $g(x)=\tan(2x-\frac{\pi}{4})$. Najprej izračunamo ničle in pole funkcije $g$, nato pa z raztegi te funkcije narišemo še graf funkcije $f$.

Ničle funkcije $g$ izračunamo iz $2x-\frac{\pi}{4}=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Ničle so pri $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.
Pole funkcije $g$ izračunamo iz $2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Poli so pri $x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

V koordinatni sistem narišemo ničlo pri $\frac{\pi}{8}$ in pol pri $\frac{3\pi}{8}$. S slike ugotovimo, da je med njima razdalja $\frac{2\pi}{8}$, zato naslednjo ničlo označimo pri $\frac{5\pi}{8}$ in naslednji pol pri $\frac{7\pi}{8}$. Označimo še nekaj ničel in polov ter narišemo graf funkcije $g$. Nato narišemo funkcijo $f_1(x)=2g(x)$ in nazadnje še $f(x)=2g(x)+1$.

Funkcijo preoblikujemo v $f(x)=-2\cot(2(x+\frac{\pi}{8}))-1$ in jo narišemo s premiki in raztegi v naslednjem vrstnem redu:
1. $f_1(x)=\cot x$
2. $f_2(x)=\cot(2x)$
3. $f_3(x)=-2\cot(2x)$
4. $f_4(x)=-2\cot (2(x+\frac{\pi}{8}))$
5. $f(x)=-2\cot (2(x+\frac{\pi}{8}))-1$

Funkcijo zapišemo kot $f(x)=-2g(x)-1$, kjer je $g(x)=\cot(2x+\frac{\pi}{4})$. Najprej izračunamo ničle in pole funkcije $g$, nato pa z raztegi te funkcije narišemo še graf funkcije $f$.

Ničle funkcije $g$ izračunamo iz $2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Ničle so pri $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.
Pole funkcije $g$ izračunamo iz $2x+\frac{\pi}{4}=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Poli so pri $x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Najprej narišemo pol pri $-\frac{\pi}{8}$ in ničlo pri $\frac{\pi}{8}$. Ugotovimo, da je med njima razlika $\frac{2\pi}{8}$, zato narišemo naslednji pol pri $\frac{3\pi}{8}$ in naslednjo ničlo pri $\frac{5\pi}{8}$. Narišemo še nekaj ničel in polov. Nato narišemo graf funkcije $f_1(x)=-2g(x)$ in nazadnje graf funkcije $f(x)=-2g(x)-1$.