Enačba $\sin x = a$

Naj bo $a\in(-1,1)$. Eno rešitev enačbe $\sin x=a$ že poznamo. To je $x_1=\arcsin a$. Če kot $x_1$ povečamo ali zmanjšamo za večkratnik $2\pi$, je sinus tega kota tudi enak $a$. To družino rešitev lahko zapišemo kot $x_1=\arcsin a+2k\pi$, kjer je $k\in \mathbb{Z}$.

Vsota rešitev $x_1$ in $x_2$ je $\pi$, zato lahko izrazimo $x_2=\pi-x_1$. Če kotu $x_2$ prištejemo ali odštejemo večkratnik $2\pi$, je sinus tega kota tudi $a$. To družino rešitev zapišimo kot $x_2=\pi-\arcsin a+2k\pi$, kjer je $k\in \mathbb{Z}$. Za $a=-1$ in $a=1$ ima enačba po eno družino rešitev, saj je v teh dveh primerih $x_1=x_2=\arcsin ⁡a+2kπ$, $k\in\mathbb{Z}$.

Zapisa $x_1$ in $x_2$ bi nas prvi hip lahko napeljala k napačnemu sklepu, da ima enačba $\sin⁡x=a$ dve rešitvi (kot smo navajeni pri zapisu rešitev kvadratne enačbe), vendar je v tem primeru rešitev neskončno mnogo (za vsak $k\in\mathbb{Z}$), ki pa jih opišemo z dvema družinama (množicama) rešitev. V tem smislu bi bilo pri izbranem $a$ obe družini pravilneje zapisati kot $X_1 (k)={\arcsin ⁡a+2kπ;\,k\in\mathbb{Z}}$ in $X_2 (k)={π-\arcsin ⁡a+2kπ;\,k\in\mathbb{Z}}$, vendar takšnega zapisa z množicami zaradi preglednosti običajno ne uporabljamo.