Splošna oblika enačbe hiperbole

Pri tem smo označili:
$A=b^2$
$C=-a^2$
$D=-2b^2p$
$E=2a^2q$
$F=b^2p^2-a^2q^2-a^2b^2 $

Vidimo, da sta koeficienta $A$ in $C$ različno predznačena, kar je tudi potreben pogoj, da enačba predstavlja enačbo hiperbole.

Povedali smo že, da je hiperbola ena izmed krivulj drugega reda, ki jih lahko zapišemo z enačbo $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$ Ker obravnavamo le stožnice, katerih simetrijske osi so vzporedne koordinatnima osema, je $B=0$.

To je v gimnazijskem programu edini primer krivulje drugega reda, pri kateri $B\ne 0$.

$\displaystyle \frac{x^2}{3}-\frac{(y+2)^2}{7}=1$

$7x^2-3(y^2+4y+4)=21$

$7x^2-3y^2-12y-12=21$

$7x^2-3y^2-12y-33=0$

$\displaystyle A\left(x+\frac{D}{2A}\right)^2 -\frac{D^2}{4A}+C\left(y+\frac{E}{2C}\right)^2 -\frac{E^2}{4C}+F=0$

$\displaystyle A\left(x+\frac{D}{2A}\right)^2 +C\left(y+\frac{E}{2C}\right)^2 =\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F$

Ker sta $A$ in $C$ različno predznačena, bo enačba predstavljala enačbo hiperbole, če  $\displaystyle\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F\ne 0$, kar je tudi zadosten pogoj za obstoj hiperbole.

Če je $\displaystyle\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F=0$, bo enačba predstavljala dve sekajoči premici.

Dolžini polosi: $a=3$, $b=2$