Praštevilski razcep

Zapišimo števili $30$ in $280$ kot zmnožek praštevil.

$30=5\cdot 6=5\cdot 2\cdot 3$

$280=28\cdot 10=4\cdot 7\cdot 2\cdot 5=2^3\cdot 5\cdot 7$

Rečemo, da smo števili razstavili ali razcepili na praštevila, zato takšen zapis števila imenujemo praštevilski razcep.

Osnovni izrek aritmetike: Vsako naravno število $n$, večje od $1$, se lahko na en sam način zapiše kot zmnožek praštevil, vrstni red faktorjev pri tem ni pomemben. Splošen zapis:

$n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdot p_3^{m_3}\cdot \, \ldots \, \cdot p_k^{m_k}$,

kjer so $p_i$ praštevila, $m_i$ pa njihove stopnje.

Vsak faktor v razcepu je delitelj števila $n$, zato si pri razcepljanju lahko pomagamo s kriteriji za deljivost. Enake faktorje na koncu združimo v potenco , kot smo naredili zgoraj.

Zgled

Razcepimo števila $9945$, $1170$ in $3080$.

Poglejmo še nekaj primerov z izrazi.

1. Vrednost izraza $5n+15$ ni nikoli praštevilo, saj je vedno deljiva s $5$: $\qquad 5n+15=5(n+3)$

2. Razišči, kakšne so vrednosti izraza $n^2-3n+2$ za različne $n$.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Vrednost	0	0	2	6	12
Je praštevilo?	ne	ne	da	ne	ne

Praštevilski razcep

Zgled

2. Razišči, kakšne so vrednosti izraza $n^2-3n+2$ za različne $n$.

Pokaži še z računom, da je vrednost tega izraza praštevilo natanko tedaj, ko je $n=3$.

3. Pri katerih vrednostih spremenljivke $n$ bo izraz $11n-55$ sestavljeno število?