Računanje s približki

Naj bosta $A=a\pm \Delta a$ in $B=b\pm \Delta b$ približka za merjeni količini $a$ in $b$. Vsoto približkov izračunamo kot:

$A+B=(a\pm \Delta a)+(b\pm \Delta b)$

$A+B=a+b\pm \Delta a\pm \Delta b$ 

$A+B=(a+b)\pm (\Delta a+\Delta b)$

Vidimo, da je absolutna napaka vsote enaka vsoti absolutnih napak posameznih členov.

To lahko utemeljimo tudi tako: $\Delta a$ je tolikšen, da je $a$ z veliko verjetnostjo nad $a-\Delta a$ in pod $a+\Delta a$. Podobno lahko sklepamo, da je vsota $a+b$ z veliko verjetnostjo nad vsoto $a+b-\Delta a-\Delta b$ in pod vsoto $ a+b+\Delta a+\Delta b$.

Naj bo $A=a\pm \Delta a$ in $B=b\pm \Delta b$.

$A\cdot B=(a\pm \Delta a)\cdot (b\pm \Delta b)$

$A\cdot B=a\cdot b\pm a\cdot \Delta b\pm b\cdot\Delta a\pm \Delta a\cdot \Delta b$

Privzamemo, da je sta absolutni napaki $\Delta a$ in $\Delta b$ majhni. Potem je člen $\Delta a\cdot \Delta b$ zanemarljiv v primerjavi z drugimi členi (glej aktivno sliko na desni) in ga lahko opustimo.

$A\cdot B=a\cdot b\pm a\cdot \Delta b\pm b\cdot\Delta a$

$\displaystyle A\cdot B=ab\left(1\pm  \frac{\Delta a}{a} \pm \frac{\Delta b}{b}\right)$

Če upoštevamo, da je vrednost izraza $\pm \displaystyle \frac{\Delta a}{a} \pm \frac{\Delta b}{b}$ z veliko verjetnostjo nad $\displaystyle -\frac{\Delta a}{a} -\frac{\Delta b}{b}$ in pod $\displaystyle \frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}$, lahko zapišemo:

$\displaystyle A\cdot B=ab\left(1\pm  \left( \frac{\Delta a}{a} +\frac{\Delta b}{b}\right) \right)$

Vidimo, da pri množenju seštevamo relativne napake.

$$ A+B= (a\pm \Delta a)+ (b\pm \Delta b)=a+b\pm (\Delta a +\Delta b)$$

$$A-B= (a\pm \Delta a)- (b\pm \Delta b)=a-b\pm (\Delta a +\Delta b)$$ 

$$A\cdot B= (a\pm \Delta a)\cdot  (b\pm \Delta b))=ab\left[1\pm  \left(\frac{\Delta a}{a}+ \frac{\Delta b}{b}\right) \right]$$

$$\frac{A}{B}=\frac{(a\pm \Delta a)}{(b\pm \Delta b)}= \frac{a}{b}\left[1\pm  \left(\frac{\Delta a}{a}+ \frac{\Delta b}{b}\right) \right]$$

Z $A$ smo označili približek za količino $a$. Če točne vrednost količine $a$ ne poznamo, je $a$ povprečna vrednost, ki jo izračunamo iz nekaj meritev merjene količine.

Pri seštevanju in odštevanju rezultat napišemo na toliko decimalk, kot jih ima najmanj natančen podatek.

Pri množenju in deljenju zapišemo rezultat na toliko mest, kot jih ima najmanj natančen podatek.