Enačbe z absolutno vrednostjo

Uvod v matematiko
Naravna in cela števila
Računanje z izrazi
Deljivost
Racionalna števila
Množice
Realna števila
Enačbe in neenačbe
Koordinatni sistem
Linearna funkcija
Statistika

Zgled

Reši enačbe. Nalogo reši v zvezek.
a) $|2x-2|=6$ b) $ |4x-9|=8$ c) $|x-a|=3; a\in \mathbb{R}$

1. način: sklepamo lahko: če je $|2x-2|=6$, je $2x-2=6$ ali $2x-2=-6$. V prvem primeru je to $4$, v drugem pa $-2$.

2. način: upoštevamo, da je: $|2x-2|=|2\cdot (x-1)|=|2|\cdot |x-2|$. Od tod dobimo:
$2\cdot |x-1|=6\Rightarrow |x-1|=3 \Rightarrow x_1=4,\; x_2=-2$

3. način: upoštevamo definicijo absolutne vrednosti.
Če je $2x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$, ima enačba obliko: $2x-2=6 \Rightarrow x=4$. Rešitev $x=4$ je dobra, saj ustreza pogoju $x\ge 1$.
Če je $2x-2< 0 \Rightarrow x<1$, ima enačba obliko: $-(2x-2)=6 \Rightarrow x=-2$. Rešitev $x=-2$ je dobra, saj ustreza pogoju $x<1$.

4. način:
določimo prelomno točko, jo narišemo na številsko premico in izberemo intervale.

Za $ x\in (-\infty,1)$, je $-(2x-2)=6 \Rightarrow x=-2$. Rešitev $x=-2$ je dobra, saj pripada izbranemu intervalu.
Za $x\in [1,\infty)$, je $2x-2=6 \Rightarrow x=4$. Rešitev $x=4$ je dobra, saj pripada izbranemu intervalu.

1. način: sklepamo lahko: če je $|4x-9|=8$, je $4x-9=8$ ali $4x-9=-8$. Rešitvi sta $4, 25$ in $0, 25$.

2. način: upoštevamo, da je: $|4x-9|=|4\cdot (x-\frac{9}{4})|=|4|\cdot |x-\frac{9}{4}|$. Od tod dobimo:
$4\cdot |x-\frac{9}{4}|=8\Rightarrow |x-\frac{9}{4}|=2 \Rightarrow x_1=4, 25,\; x_2=0, 25$

3. način: upoštevamo definicijo absolutne vrednosti.
Če je $4x-9\ge 0 \Rightarrow x\ge 2, 25$, ima enačba obliko: $4x-9=8 \Rightarrow x=4, 25$.
Rešitev $x=4,25$ je dobra, saj ustreza pogoju $x\ge 2, 25$.
Če je $4x-9< 0 \Rightarrow x<2, 25$, ima enačba obliko: $-(4x-9)=8 \Rightarrow x=0, 25$.
Rešitev $x=0, 25$ je dobra, saj ustreza pogoju $x<2, 25$.

4. način: določimo prelomno točko, jo narišemo na številsko premico in izberemo intervale.

Za $ x\in (-\infty,2^\cdot 25)$, je $-(4x-9)=8 \Rightarrow x=0, 25$. Rešitev $x=0, 25$ je dobra, saj pripada izbranemu intervalu.
Za $x\in [2^\cdot 25,\infty)$, je $4x-9=8 \Rightarrow x=4, 25$. Rešitev $x=4, 25$ je dobra, saj pripada izbranemu intervalu.

Sklepamo lahko: če je $|x-a|=3$, je $x-a=3$ ali $x-a=-3$.

V prvem primeru je $x=a+3$, v drugem pa $x=a-3$.

Zgled

Tone bi rad naredil okroglo tlakovano ploščad s polmerom $2$ m, kot prikazuje slika. Kupil je $12, 5$ m$^2$ tlakovca. Ko je položil robnike, je ugotovil, da se polmer od predvidenega razlikuje za $ 8$ cm.

Ali ima dovolj tlakovca?

Za koliko m$^2$ se količina tlakovca, ki jo zdaj potrebuje za ploščad, razlikuje od nabavljene?

Označimo z $x$ polmer nastale ploščadi. Ker ne vemo, ali je ta polmer večji ali manjši od predvidenega, nastavimo enačbo $|x-2|=0,08$. Od tod izračunamo $x_1=2, 08$m in $x_2=1, 92$m.

V prvem primeru bi potreboval $\pi x^2=\pi\cdot 2, 08^2=13, 58$ m$^2$ tlakovca. Imel bi $1,08$ m$^2$ tlakovca premalo.

V drugem primeru bi potreboval $\pi x^2 =\pi\cdot 1, 92^2=11, 58$ m$^2$ tlakovca. Ostalo bi mu še $0, 92$ m$^2$ tlakovca.

Zgled

Reši enačbo $|x+3|=1-x$.

Glede na predznak, ki ga zavzame izraz $x+3$, lahko številsko premico razdelimo na dva dela: $x\in (-\infty, -3)\cup [-3,\infty)$.
1. Če je $x\in (-\infty, -3): \; -(x+3)=1-x\Rightarrow 0=-2 \Rightarrow $ Enačba na tem intervalu nima rešitev.
2. Če je $x\in [-3 ,\infty): \; x+3=1-x\Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow $ Enačba ima rešitev $x=-1$.

Enačba |A|=|B|

Skupaj s sošolcem razišči, kako je z rešitvami enačbe $|x-a|=|x-b|$. Pomagaj si z aktivno sliko spodaj.

Odgovori na vprašanja.

Pri kateri točki izraza znotraj absolutne vrednosti spremenita znak? Kako imenujemo to točko?

Na koliko delov lahko razdelimo številsko premico glede na predznak izrazov znotraj absolutne vrednosti in glede na definicijo absolutne vrednosti?

Na katerem intervalu je rešitev enačbe? Utemelji.

Vemo, da je $|x-a|$ razdalja med številoma $x$ in $a$. Kaj lahko poveš o številu $x$, ki je rešitev enačbe $|x-a|=|x-b|$?

Katera števila rešijo enačbo $|x-a|=|x-b|$, če je $a=b$? Utemelji.

Izraza spremenita vrednost predznaka pri $x=a$ oziroma $x=b$. To točko imenujemo kritična točka.

Naj bo $a<b$. Številsko premico potem lahko razdelimo na tri dele: $x\in (-\infty, a)\cup [a,b)\cup [b,\infty)$

$x$ je število, ki je enako oddaljeno od točk $a$ in $b$. To število se v našem primeru nahaja ravno na sredini intervala [a,b).

Kadar je $a=b$ je leva stran enačbe enaka desni: $|x-a|=|x-a|$. Enačbo rešijo vsa realna števila.

Zgled

Reši enačbe. Nalogo reši v zvezek. a) $|2x-2|=6$ b) $ |4x-9|=8$ c) $|x-a|=3; a\in \mathbb{R}$

Zgled

Zgled

Reši enačbo $|x+3|=1-x$.

Zgled

Enačba |A|=|B|

Odgovori na vprašanja.

Reši enačbe. Nalogo reši v zvezek.
a) $|2x-2|=6$ b) $ |4x-9|=8$ c) $|x-a|=3; a\in \mathbb{R}$