Pitagorov izrek

Pitagora (od $570$ do $495$ pr. n. št.) je bil starogrški mislec, danes bi mu rekli filozof, matematik in še kaj. Iz njegovega časa je malo zanesljivih virov, nekaj pa se je ohranilo od njegovih učencev in še pozneje. V južni Italiji je ustanovil svojo šolo, v kateri je bilo glavno vodilo asketsko življenje v povezavi z znanstvenim raziskovanjem. Tako danes zanesljivo ne vemo dosti o nastanku njegovega izreka, ki ga je pozneje dokazal Evklid, posplošil pa Hipokrat.

Pitagorejska trojka je skupina treh naravnih števil, ki ustrezajo Pitagorovemu izreku. Obstaja jih neskončno mnogo, kar je že dokazano. Tu je nekaj trojk z manjšimi števili: $$(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13), (8,15,17), \; \ldots $$ Na babilonski tablici Plimpton $322$, ki je stara skoraj $4000$ let, je uporabljenih $15$ Pitagorejskih trojk, med drugimi tudi trojka ($12709$, $13500$, $18541$).

Vsak pravokotni trikotnik lahko s tremi njegovimi kopijami sestavimo v kvadrat s stranico $(a+b)$. Lik $ABCD$ ima skladne stranice, zato je lahko romb ali kvadrat. Kot $DAB$ je enak $180°-\alpha -\beta=90°$, zato je $ABCD$ kvadrat. Izračunajmo ploščino večjega kvadrata na dva načina: $$(a+b)^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2$$ Od tod s krajšim računom potrdimo Pitagorov izrek.

V tem dokazu uporabimo Evklidova izreka in dejstvo, da je vsota pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo enaka hipotenuzi ($a_1+b_1=c$).

$a^2=c\cdot a_1 \qquad  b^2=c\cdot b_1$

$a^2+b^2= c\cdot a_1+c\cdot b_1=c\cdot (a_1+b_1)=c^2$

V osnovni šoli Pitagorov izrek potrdijo s pomočjo leve slike in s preštevanjem kvadratkov. To seveda ni splošen dokaz, le potrditev izreka za izbrani trikotnik, ki ima kateti z dolžinama $3$ in $4$, hipotenuza pa meri $5$ cm.

Če za stranice nekega trikotnika velja, da je vsota kvadratov dveh stranic enaka kvadratu tretje stranice, potem je ta trikotnik pravokoten. Dokaz ni težak, vendar bo prišel na vrsto šele pri obravnavi kosinusnega izreka.