Od splošne do ničelne oblike

Kako pridemo od splošne do ničelne oblike kvadratne funkcije, si oglejmo še na težjem primeru in v splošnem:

V KONKRETNEM PRIMERU:	V SPLOŠNEM:
$y=3x^2-12x-4$	$y=ax^2+bx+c$
Izpostavimo vodilni koeficient:
$y=3(x^2-4x-\frac{4}{3})$	$y=a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a})$
Dopolnimo do kvadrata:
$y=3\left((x-2)^2-4-\frac{4}{3} \right)$	$y=a \left((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} \right)$
Poenostavimo:
$y=3\left((x-2)^2-\frac{16}{3} \right)$	$y=a \left((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)$
Preoblikujemo:
$y=3\left((x-2)^2-(\frac{4}{\sqrt 3})^2 \right)$	$y=a \left((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{D}}{2a})^2\right)$
Razstavimo:
$\small{y=3\left(x-2-\frac{4}{\sqrt 3})(x-2+\frac{4}{\sqrt 3}\right)}$	$\small{y=a\left(x+\frac{b+\sqrt D}{2a})(x+\frac{b-\sqrt D}{2a}\right)}$
Zapišemo ničli:
$x_{1,2}=2 \pm \frac{4}{\sqrt 3}$	$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}$

Ničli $x_1$ in $x_2$ kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ lahko izračunamo po obrazcu: $$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}; \qquad D=b^2-4ac$$

Pomen diskriminante

a) $f(x)=-2x^2-2x+4$			c) $h(x)= x^2+4$
b) $g(x)= 4x^2+8x+4$			č) $s(x)=x^2+2x-1$

Od splošne do ničelne oblike

Vrnimo se k začetnim primerom kvadratnih funkcij: a) $f(x)=-2x^2-2x+4$ c) $h(x)= x^2+4$ b) $g(x)= 4x^2+8x+4$ č) $s(x)=x^2+2x-1$ Pri vsaki od njih najprej z izpeljanim obrazcem izračunaj ničle, šele nato zapiši ničelno obliko funkcije. Bodi pozoren na vrednost diskriminante $D$.

Pomen diskriminante

Vrnimo se k začetnim primerom kvadratnih funkcij:

a) $f(x)=-2x^2-2x+4$
c) $h(x)= x^2+4$

b) $g(x)= 4x^2+8x+4$
č) $s(x)=x^2+2x-1$

Pri vsaki od njih najprej z izpeljanim obrazcem izračunaj ničle, šele nato zapiši ničelno obliko funkcije. Bodi pozoren na vrednost diskriminante $D$.