Ploščina

Nariši oba trikotnika iz prejšnjega zgleda ali pa uporabi spodnjo aktivno sliko, da ponazoriš oba trikotnika. Katera je bistvena razlika med njima?

Verjetno si opazil, da ima drugi trikotnik negativno orientacijo, zaradi česar ima trapez z daljšo višino večjo ploščino, kot je vsota drugih dveh. To je razlog, zaradi katerega je rezultat negativen.

Sklepamo lahko, da nam obrazec, ki smo ga izpeljali, ne ponuja samo ploščine trikotnika, ampak tudi njegovo orientacijo. Zaradi tega dopolnimo njegovo levo stran v produkt $S\cdot o$, kjer bo število $o$ predstavljalo orientacijo trikotnika. Pri pozitivno orientiranih trikotnikih bo $1$, pri negativno orientiranih pa $-1$.

Ploščino trikotnika s podanimi oglišči v koordinatnem sistemu torej izračunamo z obrazcem

$S\cdot o=\frac{1}{2}(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)),$

kjer $S$ predstavlja ploščino (vedno pozitivno število), $o$ pa orientacijo ($\pm 1$).

Komur ta oblika obrazca ni všeč, si ga lahko zapomni tudi v kaki drugi obliki, npr.

$S\cdot o=\frac{1}{2}((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1))$

ali pa

$S\cdot o=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{cc}
x_2-x_1 & y_2-y_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1
\end{array} \right|$

Izraz $\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|$ imenujemo (dvovrstna) determinanta, njeno vrednost pa izračunamo kot razliko med produktoma števil na eni in drugi diagonali: $ad-bc$.
Tako je:
$\left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{array} \right|=2\cdot 5-(-3)\cdot 4=22$

Izračunaj še: $\left| \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} \right|$= -16

>NAPREJ532/661