Kot med ravninama

Evklidska geometrija
Geometrija - kotne funkcije
Vektorji
Potence in koreni
Funkcije, potenčna funkcija
Kvadratna funkcija
Kompleksna števila
Eksponentna in logaritemska funkcija

Zgled

Dani sta premica $\overset{\rightharpoonup}{r}=(-2,5,1)+t(3,2,4)$ in ravnina $5x-y+4z-18=0$.

a) Izračunaj presečišče premice in ravnine.

b) Izračunaj kot med premico in ravnino.

Zapišimo enačbo premice v parametrični obliki: $$x=-2+3t,y=5+2t,z=1+4t$$ Vstavimo v enačbo ravnine: $$5(-2+3t)-(5+2t)+4(1+4t)-18=0$$ Dobljena enačba ima rešitev $t=1$. Iz tega izhaja: $$x=1,y=7,z=5$$ Presečišče premice in ravnine je točka $P(1,7,5)$.

Smerni vektor premice je vektor $\overset{\rightharpoonup}{s}=(3,2,4)$, normala ravnine pa $\overset{\rightharpoonup}{n}=(5,-1,4)$. Uporabimo obrazec: $$\sin\varphi=\frac{|\overset{\rightharpoonup}{s}\cdot\overset{\rightharpoonup}{n}|}{|\overset{\rightharpoonup}{s}||\overset{\rightharpoonup}{n}|}$$ $$\sin\varphi=\frac{|(3,2,4)\cdot (5,-1,4)|}{|(3,2,4)||(5,-1,4)|}=\frac{29}{\sqrt{42}\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{29}{42}}$$ Iz tega izhaja: $\varphi=56,20^\circ$.

Kot med ravninama

Razišči kot med ravninama.

Kot med ravninama je enak kotu med premicama iz vsake ravnine, ki sta pravokotni na skupno premico obeh ravnin.

Zgled

Dani sta ravnini $x+y+3z-10=0$ in $4x-5y+3z+6=0$.

a) Izračunaj presečišče ravnin.

b) Izračunaj kot med ravninama.

Rešiti moramo sistem treh enačb z dvema neznankama. Če od druge enačbe odštejemo prvo, eliminiramo $z$: $$3x-6y+16=0$$ Iz tega izhaja $x=2y-\frac{16}{3}$. Vstavimo izražen $x$ v eno izmed enačb ravnin in dobimo $z=\frac{46}{9}-y$.

Presečišče ravnin je premica $\overset{\rightharpoonup}{r}=(\frac{16}{3},0,\frac{46}{9})+t(2,1,-1)$.

Ravnini imata normali $\overset{\rightharpoonup}{n_1}=(1,1,3)$ in $\overset{\rightharpoonup}{n_2}=(4,-5,3)$. Iz tega izhaja: $$\cos\varphi=\frac{|\overset{\rightharpoonup}{n_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{n_2}|}{|\overset{\rightharpoonup}{n_1}||\overset{\rightharpoonup}{n_2}|}=\frac{8}{\sqrt{11}\sqrt{50}}$$ Ravnini oklepata kot $\varphi=70,05^\circ$.

Zgled

Izračunaj pravokotno projekcijo točke $T(3,-1,5)$ na ravnino $2x-y+3z-6=0$.

Pravokotna projekcija točke $T$ na ravnino je presečišče pravokotnice na ravnino skozi točko $T$ in ravnine. Za smerni vektor pravokotnice lahko vzamemo normalo ravnine, torej $\overset{\rightharpoonup}{s}=(2,-1,3)$. Enačba pravokotnice je: $$\overset{\rightharpoonup}{r}=(3,-1,5)+t(2,-1,3)$$ Presečišče pravokotnice in ravnine je točka $T'(\frac{5}{7},\frac{1}{7},\frac{11}{7})$.