Zlati rez

Na prejšnji aktivnosti smo videli, da je približna vrednost opazovanega razmerja približno $1,62$. V nadaljevanju nas bo zanimala njegova natančna vrednost.

a) Zapiši kvadratno enačbo, ki ustreza razmerju zlatega reza: $$(a+b):a=a:b$$ b) Iz dobljene enačbe izrazi z $b$ rešitvi $a_{1,2}$.
c) Izračunaj natančno vrednost razmerja $a:b$.

Število $\displaystyle{\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}} \doteq 1,618 \ldots$ imenujemo ZLATO ŠTEVILO.$$\phi=\frac{x}{y}=\frac{x+y}{x}=\frac{1+\sqrt 5}{2} \doteq 1,618 \ldots$$

Zgled

1. Človeško oko intuitivno prepozna kot lep tisti obraz, na katerem je veliko razmerij "zlatih". Podobno velja za lepo telo, s čimer se je ukvarjal že Leonardo da Vinci. Matematični zlati rez pri svojih rezih zato uporabljajo tudi plastični kirurgi.

2. Oglej si sliko in izmeri svojo roko od konice prstov do zapestja ter od zapestja do komolca.

Izračunaj razmerje daljšega proti krajšemu delu.
Kaj ugotoviš?

3. Zaporedje števil sestavljamo po naslednjem preprostem pravilu: vsako naslednje število je vsota prejšnjih dveh. Dopolni.

$1$, $1$, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ...

Oglej si zdaj zaporedje kvocientov vsakega števila v zaporedju z njegovim predhodnikom. Kaj ugotoviš?

4. Zlati pravokotnik ima naslednjo lastnost: če iz njega izrežemo največji možni kvadrat (glej sliko), nam ostane manjši pravokotnik, ki je podoben večjemu. Dokaži, da ima zlati pravokotnik stranici v razmerju zlatega reza.

>NAPREJ528/703