Izpeljava enačbe elipse iz enačbe krožnice

Razteg s faktorjem $k$ preslika daljico dolžine $a$ v daljico dolžine $k\cdot a$.

Videli smo, da elipso dobimo iz krožnice, če jo raztegnemm/skrčimo v smeri ene osi s faktorjem $k=\frac{b}{a}$. To lahko uporabimo pri izpeljavi ploščine elipse.

Krog s ploščino $\pi \cdot a \cdot a$ se preslika v lik s ploščino $\pi \cdot a\cdot k a$. Pri tem smo raztegnili samo en polmer kroga ($a$), saj na krog delujemo samo v smeri ene osi.

Dobimo elipso s ploščino:
$S_E=\pi \cdot a\cdot k a=\pi \cdot a\cdot \frac{b}{a}\cdot a=\pi ab$

V obeh primerih je ploščina elipse: $S=\pi\cdot 2\cdot 1=6,28$.

Ploščina elipse: $S=\pi ab=\pi\cdot 5\cdot 4=\pi \cdot 20$

Ploščina krožnice: $S=\pi r^2$ $$\pi r^2=\pi \cdot 20$$

Od tod izračunamo $r=2\sqrt5$.

Presečišči krožnice z ordinatno osjo: $$P_1(0,-2\sqrt 5),\; P_2(0,2\sqrt 5)$$