Deljivost izrazov

Zgled

Opazuj tista naravna števila, ki so enaka vsoti štirih zaporednih potenc števila $3$:

Zapiši prvih pet števil od najmanjšega k večjemu:

120 , 360 , 1080 , 3240 , 9720 .

Števila postanejo hitro zelo velika, njihove delitelje bo z razcepom težko ugotoviti. Razmisli, kako bi takšna števila zapisali v splošnem.

Pokažimo, da so taka števila vedno deljiva s ${\bf{60}}$.

Število (izraz) najprej razstavimo:

$a=3^{n}\cdot (1+3+3^2+3^3)=3^{n}\cdot 40=3^{n}\cdot 2 \cdot \bf{20}$

Opazovana števila so deljiva z $20$. Ker je $n$ naravno število, torej večje od $0$, lahko iz faktorja $3^{n}$ vzamemo eno trojko in s tem pokažemo deljivost s številom $60$:

$a=3^{n}\cdot 2 \cdot {\bf{20}}={\bf{3}}\cdot 3^{n-1}\cdot 2\cdot {\bf{20}}=3^{n-1}\cdot 2\cdot {\bf{60}}$

Zgled

Za poljubno naravno število $n$ velja naslednje: za osem zmanjšan osemnajstkratnik njegovega kvadrata je vedno deljiv s številom, ki je enako za dva povečanemu trikratniku izbranega števila. Zapiši to poved z matematičnimi simboli.

Prepričajmo se, če to velja za nekatera manjša števila. Kako se glasi zgornja trditev, če je $n=1$ ali $2$? Preglednico dopolni s števili in zapiši, če so zapisane trditve resnične (da/ne):

$n$	Trditev	Je resnična?
$1$	5 deli število 10	da
$2$	8 deli 72	da

Zgled

Števila postanejo hitro zelo velika, njihove delitelje bo z razcepom težko ugotoviti. Razmisli, kako bi takšna števila zapisali v splošnem.

Naša števila so torej deljiva celo s $120$. Iz razcepa preberi še druge številske delitelje.

Zgled

Za poljubno naravno število $n$ velja naslednje: za osem zmanjšan osemnajstkratnik njegovega kvadrata je vedno deljiv s številom, ki je enako za dva povečanemu trikratniku izbranega števila. Zapiši to poved z matematičnimi simboli.

Prepričajmo se, če to velja za nekatera manjša števila. Kako se glasi zgornja trditev, če je $n=1$ ali $2$? Preglednico dopolni s števili in zapiši, če so zapisane trditve resnične (da/ne):

Skupaj s sošolcem poskusita trditev o deljenju dokazati v splošnem.