Standardni odklon

Kako so podatki razpršeni okoli aritmetične sredine? Označimo podatke z $x_1, x_2, x_3, \dots, x_N$, aritmetično sredino pa z $\overline{x}$.

Za vsak podatek bomo izračunali odklon podatka od aritmetične sredine, ki je enak razliki med podatkom in aritmetično sredino. Odkloni so $x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, x_3-\overline{x},\dots,x_N-\overline{x}$.

Vsota vseh odklonov je enaka $0$, kar smo spoznali že pri aritmetični sredini. Prikažimo grafično.

Odklone bomo kvadrirali, kvadrate sešteli in vsoto delili z $N$. Dobljeni rezultat bomo še korenili. Tako dobimo formulo za razpršenost podatkov okoli aritmetične sredine, nov pojem pa bomo imenovali standardni odklon in ga označili $\sigma$. Povzemimo.

Standardni odklon $\sigma$ (ali standardna deviacija) je odklon podatkov od aritmetične sredine in ga izračunamo po formuli:

$\displaystyle{\sigma= \sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+ (x_2-\overline{x})^2+ \dots + (x_N-\overline{x})^2}{N}}}$

Zgled

Izračunaj standardni odklon števila dvigov telesa fantov iz zgleda o gibalnih sposobnostih dijakov. Podatki so:

$42$, $43$, $45$, $46$, $49$, $50$, $51$, $51$, $51$, $51$, $53$, $56$, $57$, $57$, $63$

Najprej izračunamo aritmetično sredino podatkov.

$\overline{x}=\frac{42+43+45+46+49+50+51+51+51+51+53+56+57+57+63}{15}=51$

Zdaj bomo izračunali še standardni odklon, vendar bomo zaradi zapletenosti in dolžine formule to storili v dveh korakih. Najprej bomo izračunali izraz pod korenom, ki ga imenujemo varianca in ga označimo $\sigma^2$.

$\sigma^2=\frac{(42-51)^2+(43-51)^2+(45-51)^2+(46-51)^2+(49-51)^2+(50-51)^2}{15}+$

$+\frac{(51-51)^2+(51-51)^2+(51-51)^2+(51-51)^2+(53-51)^2+(56-51)^2}{15}+$

$+\frac{(57-51)^2+(57-51)^2+(63-51)^2}{15}=30,4$

Standardni odklon dobimo tako, da varianco korenimo:

$\sigma=\sqrt{30,4}=5,5$

Opazovanih $15$ dijakov je dvignilo trup različno mnogokrat. Aritmetična sredina števila dvigov trupa je pri fantih $51$ dvigov s standardnim odklonom $5,5$ dviga.