Od splošne do temenske oblike

Nekaj posebnih primerov temenskih oblik znaš poiskati že z znanjem iz prvega letnika. Razstavi naslednje izraze:

a) $x^2+2x+1=(x+$ 1 $)^2$
b) $x^2+4x+4=(x+$ 2 $)^2$
c) $3x^2-12x^2+12=3(x^2-$ 4 $x+$ 4 $)=3(x-$ 2 $)^2$
Kako glede na obliko imenujemo izraze na desni strani enakosti?

Algebrskemu izrazu, ki ga lahko zapišemo kot kvadrat nekega drugega izraza, bomo v nadaljevanju rekli popolni kvadrat.

Kako pa splošno obliko preoblikujemo v temensko, če nimamo opravka s popolnim kvadratom? Vzemimo za začetek primer:

Pravimo, da smo izraz dopolnili do popolnega kvadrata. Kakšni so torej koraki pri dopolnjevanju do popolnega kvadrata?

Metodo dopolnjevanja do popolnega kvadrata, ki nas od splošne pripelje do temenske oblike kvadratne funkcije (enačbe parabole), si oglejmo še na težjem primeru in v splošnem:

V KONKRETNEM PRIMERU:	V SPLOŠNEM:
$y=3x^2-12x+16$	$y=ax^2+bx+c$
Izpostavimo vodilni koeficient:
$y=3(x^2-4x+\frac{16}{3})$	$y=a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a})$
Dopolnimo do kvadrata:
$y=3\left((x-2)^2-4+\frac{16}{3} \right)$	$y=a \left((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} \right)$
Poenostavimo:
$y=3\left((x-2)^2+\frac{4}{3} \right)$	$y=a \left((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)$
Odpravimo zunanji oklepaj:
$y=3 (x-2)^2+4$	$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$
Teme je točka $\bf{T(p,q)}$:
$T(2,4)$	$T\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$
Simetrijska os parabole:
$x=2$	$x=p=-\frac{b}{2a}$

<NAZAJ

>NAPREJ468/703